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古希腊的三个著名问题之一是关于角的三等分问题。尽管现在连没有学过数学的人也都知道这个问题，但是用欧几里得工具进行三等分角并非易事。在求解类似任意等分角的问题时，古希腊人可能首先将问题归结为所谓的斜向（verging）问题。对于任何锐角 ABC（图31），取 AB 为矩形 BCAD 的对角线 BA 和边 BC 的夹角。考虑经过 B 点的一条线段 EF，使得 EF = 2 (BA)，并令 G 为 EF 中点，则 EG = GF = GA = BA。从这里可以得到 ∠AGB=∠GAB=∠GFA+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC，并且 BEF 三等分 ∠ABC。
如果允许在直尺上标出线段 EF = 2 (BA)，并调整直尺位置使得它经过 B 点且 E 在 AC 上、F 在 DA 的延长线上，则 ∠ABC 被三等分。这种不按规定的使用直尺的方法也可以看作是插入原则（insertion principle）的一种应用。这一原则的其他应用，在问题研究4.6中可以找到。
为了理解三等分角归结为斜向问题，已经发现了许多高次平面曲线。其中最古老的一个是尼科梅德斯（约公元前240年）发现的蚌线（conchoid）。设 c 为一条直线，O 为 c 外的任何一点，P 为 c 上的任何一点，在 PO 的延长线上截出 PQ 等于给定长度 k。当点 P 沿着曲线 c 移动时，点 Q 的轨迹就是 c 对极点 O 和常数 k 的蚌线。如果使用一个这样设计的工具，则很容易进行三等分角操作。
对于更高级的曲线方法，早期希腊人还不知道这种操作。对于这种方法最早的证明是帕普斯（Pappus，约公元300年）。利用二次曲线进行三等分角有两种方法，可以在问题研究4.8中找到。
还有一些超越（非代数）曲线不仅能够对一个给定的角进行三等分，还能任意等分。其中有一种叫做伊利斯希皮阿斯希皮阿斯（Hippasus，约公元前425年）发明了割圆曲线（quadratrix），它能解决圆的求积问题。关于割圆曲线在三等分角和化圆为方问题上的应用，在问题研究4.10中有详细说明。
多年来，为了了解三等分角问题，已经设计出许多机械装置、联动机械和复合圆规。其中有一个有趣的工具叫做战斧，但我不知道是谁发明的。这个工具可以放在角上，在角心点落下来并穿过点 B，半圆与 BC 相切于 D 点。这样就证明了 ?RSB、?TSB 和 ∠TDB 都是等腰三角形，因此 BS 和 BT 都是给定角的三等分线。
当然，用欧几里得工具不能精确地进行三等分任意角度操作。但是使用这些作图方法可以得到相当准确的近似结果。一个卓越的例子是著名蚀刻师、画家 A. Durer 在 1525 年给出的作图方法。取给定角度 ∠AOB 为一个圆的中心角度数（参见图34），设 C 为弦 AB 的靠近 B 点的三等分点。在点 C 处画出 AB 的垂线交圆于 D 点。以 B 点为圆心，以 BD 为半径画弧交圆于 E 点。设令 F 为 EC 的靠近 E 点的三等分点，再以 B 点为圆心，以 BF 为半径画弧交圆于 G 点。那么 OG 就是∠AOB的近似的三等分线。
欧几里得工具虽然不能精确地进行三等分任意角度操作。但是，使用这些作图方法可以得到相当准确的近似结果。例如，如果允许在直尺上标出线段EF=2(BA)，并调整直尺的位置使得它过B点，并且让EF=2(BA),这样就能解决三等分角问题的，问题

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